modulo

Definisi 1.1 Misalkan a bilangan bulat dan m bilangan bulat positif. Digunakan a mod m untuk menyatakan sisa hasil pembagian a oleh m.
Definisi 1.2 Diketahui dua bilangan bulat a,b. Bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo m, ditulis a ≡ b mod m, jika m membagi a - b.
Sistem bilangan yang umum digunakan adalah bilangan modulo 10 yaitu bilangan 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Contoh :
1. Bilangan 27 dalam modulo 10 ditulis 27 ≡ 7 mod 10 atau 27 ≡ -3 mod 10
2. Bilangan 19 dalam modulo 10 ditulis 19 ≡ 9 mod 10 atau 19 ≡ -1 mod 10
3. Bilangan 27 dalam modulo 5 ditulis 27 ≡ 2 mod 5 atau 27 ≡ -3 mod 5
4. Bilangan 19 dalam modulo 3 ditulis 19 ≡ 1 mod 3 atau 19 ≡ -2 mod 3

Salah satu fungsi dari bilangan modulo adalah untuk mencari sisa pembagian

Contoh :

1. Tentukan sisanya bila 7¹²⁵ dibagi 8 !

Jawab : Jika 7² = 49 dibagi 8, maka sisanya 1, sehingga 7² ≡ 1 (mod 10), sehingga

7¹²⁵ ≡ (7²)⁶².7 (mod 8)

7¹²⁵ ≡ (1)⁶².7 (mod 8)

7¹²⁵ ≡ 7 (mod 8) dengan demikian sisanya adalah 7.

2. Tentukan sisanya bila 2¹³ dibagi 13 !

Jawab : 

2¹³ ≡ (2)¹².2 (mod 13)

2¹³ ≡ (1).2 (mod 13)

2¹³   ≡ 2 (mod 13) dengan demikian sisanya adalah 2.

Dalil Euler

Jika FPB (a,m) = 1, maka a^φ(m) ≡ 1 (mod m) atau dengan kata lain a dan m sama sama prima dan pangkat dari a adalah 1 kurangnya dari m.

Contoh :

1. Tentukan sisanya bila 7⁵⁰ dibagi 13!

Jawab a = 7 , m = 13 sehingga φ(13) =12 sehingga 7¹² ≡ 1 (mod 13) karena itu

 

7⁵⁰ ≡ (7¹²)⁴. 7² (mod 13)  ket : 7 prima dan 13 juga prima maka 7¹² mod 13 = 1

7⁵⁰ ≡(1)⁴.49 (mod 13)

7⁵⁰ ≡ 49 (mod 13)

7⁵⁰ ≡ 10 (mod 13) jadi sisanya adalah 10.

2. Tentukan sisanya jika 2⁶⁰ dibagi 7 !

Jawab :

2⁶⁰ ≡ (2⁶)¹⁰ mod 7     ket : 2 prima dan 7 juga prima maka 2⁶ mod 7 = 1

2⁶⁰≡ 1¹⁰ mod 7

2⁶⁰≡ 1 mod 7 jadi sisanya adalah 1

LATIHAN !

     1.     Berapakah 17 (mod 5) dan 133 (mod 9)?

     2.  Tentukan sisanya jika :

a. 7¹⁰⁰⁰ dibagi 24        b. 3⁴⁷ dibagi 23         c. 37⁴⁹ dibagi 7        d. 8¹⁰³ dibagi 13

e. 45²⁰⁰¹ dibagi 41      f. 7³⁴⁸ dibagi 8           g. 3¹⁹⁹⁰ dibagi 41     h. 65²² dibagi 7

3. Tentukan angka satuan dari bilangan berikut :

      a. 3²⁰⁰⁸                   b. 1997¹⁹⁹¹                 c. 777³³³  

    

      4. Tentukan sisanya jika 7³⁴⁸ + 25⁶⁰⁵ dibagi 8 !

      5. Tentukan bilangan yang jika dibagi 7 bersisa 2 dan jika dibagi 5 bersisa 1 !

      6. Tentukan bilangan yang jika dibagi 2 bersisa 1, dibagi 3 bersisa 2 dan dibagi 5 bersisa 4 !

     7. Tentukan angka terakhir (angka satuan) dari 777³³³!

     8. Tentukan  angka satuan  dari 3¹²³⁴!

     9. Tentukan sisanya jika

       a. 2²⁰⁰⁶ dibagi 17                             b. 3²⁰⁰⁶ dibagi 11

    10. Tentukan sisanya jika 13⁴⁵ dibagi 9!

  SELAMAT MENGERJAKAN