ILMU

Ilmu itu ada tiga tahapan

Jika seseorang memasuki tahapan pertama, dia akan takabur (sombong)
Jika seseorang memasuki tahapan kedua, dia akan tawadhu' ( rendah hati )
Jika seseorang memasuki tahapan ketiga, dia akan merasa dirinya tidak ada apa apanya

Jika seorang hamba menuntut ilmu untuk diamalkan
Maka ilmunya akan menjadikannya rendah hati

HIMPUNAN

HIMPUNAN

  1. S + S₂ = S₁ + S₁ + TS

  2. HANYA = S₁ – S₂ 
  3. S + S₂ + S₂ + S₂ = S₁ + S₁ + S₁ + S₃ + TS

  4. HANYA = ( S₁ + S₃ ) – (S₂ + S₂)

KETERANGAN :

S = SEMUANYA 
S₁ = SUKA 1/ GEMAR 1/ …

     S₂ = SUKA 2/ GEMAR 2/ …

      S₃ = SUKA 3/ GEMAR 3/ …

      TS = TIDAK SUKA/TIDAK GEMAR/…

CONTOH :  

1. Dalam suatu kelompok, terdapat 9 orang gemar nonton sepak bola, 7 orang gemar nonton basket, dan 3 orang gemar keduanya. Banyak orang dalam kelompok itu adalah . . .

Jawab :

S + S2 = S1 + S1 + TS

S + 3 = 9 + 7 + 0

S + 3 = 16

S = 16 – 3

S = 13 orang

2. Dari 40 anak, ternyata 15 orang suka minum teh, 17 orang suka minum susu, 20 orang suka minum kopi, 5 orang suka minum teh dan susu, 7 orang suka minum susu dan kopi, 4 orang suka minum the dan kopi, dan 2 orang suka ketiganya. Banyak siswa yang tidak suka minum teh, susu, maupun kopi adalah . . .

Jawab :

S + S₂ + S₂ + S₂ = S₁ + S₁ + S₁ + S₃ + TS

40 + 5 + 7 + 4 = 15 + 17 + 20 + 2 + TS

56 = 54 + TS

TS = 56 – 54

TS = 2 anak

LATIHAN 

 1. Dalam suatu kelas, terdapat 24 siswa suka makan pedas, 17 siswa suka makan manis, 8 siswa suka makan manis maupun pedas. Jika jumlah siswa dalam kelas itu ada 38 siswa maka banyak siswa yang tidak makan manis maupun pedas adalah . . .

2. Dari 40 anak, ternyata 17 anak gemar matematika, 19 anak gemar biologi, dan 12 anak gemar yang lain. Banyak anak yang hanya gemar biologi adalah . . .

3. Di suatu tempat wisata terdapat 50 orang pedagang, 28 orang pedagang menjual cinderamata, 17 orang pedagang menjual cinderamata dan makanan khas daerah, dan 8 orang pedagang yang tidak menjual cinderamata maupun makanan khas daerah. Banyak pedagang yang menjual makanan khas saja ada . . . orang.

4. Dari 28 siswa yang mengikuti kegiatan ekstra-kurikuler di sekolah, 15 anak mengikuti pramuka, 12 anak mengikuti futsal, dan 7 anak mengikuti keduanya. Banyak anak yang tidak mengikuti pramuka maupun futsal adalah . . . anak.

5. Siswa kelas 9E diwawancara tentang kegemaran terhadap mata pelajaran IPA dan Matematika. Diperoleh data terdapat 20 orang gemar IPA, 9 orang gemar Matematika, 7 orang gemar keduanya, 11 siswa yang tidak gemar keduanya. Banyak siswa di kelas tersebut adalah . . . orang.

6. Suatu kelas terdiri atas 42 siswa. Dalam kelas tersebut terdapat 20 siswa mengikuti kegiatan ekstra-kurikuler olahraga, 14  siswa mengikuti kegiatan ekstra-kurikuler kesenian, 22 siswa mengikuti kegiatan ekstra-kurikuler pramuka, 8 siswa mengikuti kegiatan ekstra-kurikuler kesenian dan pramuka, 7 siswa mengikuti kegiatan ekstra-kurikuler kesenian dan olahraga, 12 siswa mengikuti kegiatan ekstra-kurikuler olahraga dan pramuka, 5 siswa mengikuti ketiga ekstra-kurikuler tersebut. Banyak siswa yang tidak mengikuti ketiga ekstra-kurikuler tersebut adalah . . . siswa.

7. Dalam suatu kelas terdapat 42 siswa, ternyata 30 siswa gemar voli, 34 siswa gemar bulu tangkis. Banyak siswa yang gemar kedua-duanya adalah . . . siswa.

FPB DAN KPK

FPB DAN KPK

Di dalam himpunan bilangan asli, terdapat sifat-sifat penting yang berhubungan dengan faktor dan kelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan asli, di antaranya adalah FPB(GCD) dan KPK(LCM). Yang dimaksud dengan faktor persekutuan dari dua bilangan asli adalah suatu bilangan asli yang merupakan faktor dari dua bilangan tersebut. Sebagai contoh, 5 adalah suatu faktor dari 30 dan juga faktor dari 45. Jadi 5 adalah faktor persekutuan dari 30 dan 45.

4.1 Faktor Persekutuan Terbesar [FPB]/ [GCD]

Faktor Persekutuan Terbesar [FPB] dua atau lebih bilangan asli adalah bilangan asli terbesar yang merupakan anggota himpunan semua faktor persekutuan dari bilangan-bilangan itu atau bilangan asli terbesar yang habis membagi bilangan-bilangan tersebut.

Menentukan FPB

Mendaftarkan semua faktor

a.     Mendaftarkan semua faktor dari bilangan – bilangan tersebut

Metode faktor Prima

b.     FPB dari bilangan – bilangan asli adalah hasil kali faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil antar bilangan tersebut.

Algoritma Euclid

Jika bilangan – bilangan yang akan dicari FPBnya besar, maka perlu suatu cara sistematis untuk mencari FPBnya. Secara sederhana metode yang dilakukan algoritma euclid adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari bilangan – bilangan yang telah direduksi terus menerus. Cara mereduksi bilangan ini adalah dengan melihat sisa pembagian antara satu bilangan dengan bilangan yang lain. Sisa tidak nol terakhir adalah nilai FPB yang dimaksud.

Jika a dan b dua bilangan bulat dengan a > b > 0, maka FPB [a, b] dapat dicari dengan langkah – langkah sebagai berikut :

                                               a = b.q₁ + r_{1 ,} 0 < r₁ < b      

                                               b = r₁.q₂ + r₂ , 0 < r₂ < r₁

                                               c = r₂.q₃ + r₃ , 0 < r₃ < r₂

                                                                 …

                                           r_n-2   = r_n-1. q_n + r_n , 0 < r_n < r_n-1

                                           r_n-1   = r_n.q_n+1 

Pada perhitungan diatas, a dibagi oleh b, ( sebab a > b ), q₁ adalah hasil bagi dan r₁ adalah sisa pembagian.

Contoh :

1. Tentukan FPB (481,299)!

Karena 481 > 299 maka              481     =          299.1 + 182

                                                    299     =          182.1 + 117

                                                    182     =          117.1 + 65

                                                    117     =          65.1 + 52

                                                    65       =          52.1 + 13

                                                    52       =          13.4

Dari uraian diatas, diperoleh FPB(481,299) = 13.

2. Tentukan FPB dari 91 dan 287 !

Jawab : 287 = 3.91 + 14

              91  = 6.14 +7

              14 = 2.7

maka FPB dari 91 dan 287 adalah 7

4.2  KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL[KPK]/[LCM]

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan asli atau lebih adalah bilangan asli terkecil yang merupakan anggota himpunan semua 

kelipatan persekutuan antara bilangan-bilangan tersebut atau bilangan asli terkecil yang habis di bagi oleh bilangan-bilangan tersebut.

Menentukan KPK

a.     Mendaftarkan semua faktor dari bilangan- bilangan tersebut

b.     Metode faktor prima

c.      KPK dari bilangan-bilangan asli adalah hasil kali faktor prima yang sama dengan pangkat terbesar antar bilangan tersebut dan semua pemangkatan faktor prima yang berbeda yang ada di setiap bilangan tersebut.

4.3 Sifat-sifat FPB dan KPK

Jika a,b,c,d,n adalah bilangan-bilangan asli, maka :

a.     FPB(ca,cb) = c x FPB (a,b)

b.     FPB(a,bc) = FPB(a, c x FPB(a,b))

c.      FPB(aⁿ,bⁿ) = (FPB(a,b))ⁿ

d.     Jika FPB(a,b) = d, maka FPB(a/d,b/d) = 1

e.     FPB(a,b) x KPK(a,b) = a x b

 

LATIHAN !

 

1. Tentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan berikut :

 a. 1009 dan 4001

 b. 2378 dan 3977

 c. 6243 dan 3299

 d. 6409 dan 4283

2. Buatlah dua contoh bilangan  yang masing - masing terdiri dari 5 angka dan FPBnya 105 !

3. Carilah semua pasangan bilangan yang mempunyai FPB 8 dan KPK 240 !  

4. P adalah sebuah bilangan asli. Jika FPB dari P dan 36 adalah 9, KPK dari P dan 36 adalah 108. Tentukan P !  

5. Dua bilangan bulat a, b dengan a < b mempunyai FPB (a,b) = 4 dan KPK (a,b) = 140. Tentukan semua pasangan (a,b) !  

6. Dua bilangan a dan b hanya mempunyai faktor prima 2 dan 11. Bilangan a mempunyai 12 faktor (termasuk 1 dan dirinya sendiri) dan b memiliki 8 faktor (termasuk 1 dan dirinya sendiri). Jika FPBnya adalah 242, maka KPKnya adalah . . .

7. Carilah FPB dan KPK dari

            a. 712 dan 12618153

            b. 1268153 dan 929427

            c. 1037672 dan 15756471

            d. 2656770 dan 20522383

            e. 1234567 dan 15973