FPB DAN KPK

FPB DAN KPK

Di dalam himpunan bilangan asli, terdapat sifat-sifat penting yang berhubungan dengan faktor dan kelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan asli, di antaranya adalah FPB(GCD) dan KPK(LCM). Yang dimaksud dengan faktor persekutuan dari dua bilangan asli adalah suatu bilangan asli yang merupakan faktor dari dua bilangan tersebut. Sebagai contoh, 5 adalah suatu faktor dari 30 dan juga faktor dari 45. Jadi 5 adalah faktor persekutuan dari 30 dan 45.

4.1 Faktor Persekutuan Terbesar [FPB]/ [GCD]

Faktor Persekutuan Terbesar [FPB] dua atau lebih bilangan asli adalah bilangan asli terbesar yang merupakan anggota himpunan semua faktor persekutuan dari bilangan-bilangan itu atau bilangan asli terbesar yang habis membagi bilangan-bilangan tersebut.

Menentukan FPB

Mendaftarkan semua faktor

a.     Mendaftarkan semua faktor dari bilangan – bilangan tersebut

Metode faktor Prima

b.     FPB dari bilangan – bilangan asli adalah hasil kali faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil antar bilangan tersebut.

Algoritma Euclid

Jika bilangan – bilangan yang akan dicari FPBnya besar, maka perlu suatu cara sistematis untuk mencari FPBnya. Secara sederhana metode yang dilakukan algoritma euclid adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari bilangan – bilangan yang telah direduksi terus menerus. Cara mereduksi bilangan ini adalah dengan melihat sisa pembagian antara satu bilangan dengan bilangan yang lain. Sisa tidak nol terakhir adalah nilai FPB yang dimaksud.

Jika a dan b dua bilangan bulat dengan a > b > 0, maka FPB [a, b] dapat dicari dengan langkah – langkah sebagai berikut :

                                               a = b.q₁ + r_{1 ,} 0 < r₁ < b      

                                               b = r₁.q₂ + r₂ , 0 < r₂ < r₁

                                               c = r₂.q₃ + r₃ , 0 < r₃ < r₂

                                                                 …

                                           r_n-2   = r_n-1. q_n + r_n , 0 < r_n < r_n-1

                                           r_n-1   = r_n.q_n+1 

Pada perhitungan diatas, a dibagi oleh b, ( sebab a > b ), q₁ adalah hasil bagi dan r₁ adalah sisa pembagian.

Contoh :

1. Tentukan FPB (481,299)!

Karena 481 > 299 maka              481     =          299.1 + 182

                                                    299     =          182.1 + 117

                                                    182     =          117.1 + 65

                                                    117     =          65.1 + 52

                                                    65       =          52.1 + 13

                                                    52       =          13.4

Dari uraian diatas, diperoleh FPB(481,299) = 13.

2. Tentukan FPB dari 91 dan 287 !

Jawab : 287 = 3.91 + 14

              91  = 6.14 +7

              14 = 2.7

maka FPB dari 91 dan 287 adalah 7

4.2  KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL[KPK]/[LCM]

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan asli atau lebih adalah bilangan asli terkecil yang merupakan anggota himpunan semua 

kelipatan persekutuan antara bilangan-bilangan tersebut atau bilangan asli terkecil yang habis di bagi oleh bilangan-bilangan tersebut.

Menentukan KPK

a.     Mendaftarkan semua faktor dari bilangan- bilangan tersebut

b.     Metode faktor prima

c.      KPK dari bilangan-bilangan asli adalah hasil kali faktor prima yang sama dengan pangkat terbesar antar bilangan tersebut dan semua pemangkatan faktor prima yang berbeda yang ada di setiap bilangan tersebut.

4.3 Sifat-sifat FPB dan KPK

Jika a,b,c,d,n adalah bilangan-bilangan asli, maka :

a.     FPB(ca,cb) = c x FPB (a,b)

b.     FPB(a,bc) = FPB(a, c x FPB(a,b))

c.      FPB(aⁿ,bⁿ) = (FPB(a,b))ⁿ

d.     Jika FPB(a,b) = d, maka FPB(a/d,b/d) = 1

e.     FPB(a,b) x KPK(a,b) = a x b

 

LATIHAN !

 

1. Tentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan berikut :

 a. 1009 dan 4001

 b. 2378 dan 3977

 c. 6243 dan 3299

 d. 6409 dan 4283

2. Buatlah dua contoh bilangan  yang masing - masing terdiri dari 5 angka dan FPBnya 105 !

3. Carilah semua pasangan bilangan yang mempunyai FPB 8 dan KPK 240 !  

4. P adalah sebuah bilangan asli. Jika FPB dari P dan 36 adalah 9, KPK dari P dan 36 adalah 108. Tentukan P !  

5. Dua bilangan bulat a, b dengan a < b mempunyai FPB (a,b) = 4 dan KPK (a,b) = 140. Tentukan semua pasangan (a,b) !  

6. Dua bilangan a dan b hanya mempunyai faktor prima 2 dan 11. Bilangan a mempunyai 12 faktor (termasuk 1 dan dirinya sendiri) dan b memiliki 8 faktor (termasuk 1 dan dirinya sendiri). Jika FPBnya adalah 242, maka KPKnya adalah . . .

7. Carilah FPB dan KPK dari

            a. 712 dan 12618153

            b. 1268153 dan 929427

            c. 1037672 dan 15756471

            d. 2656770 dan 20522383

            e. 1234567 dan 15973